Méthode Accélération Moyenne Constante

L'appellation d'accélération moyenne constante viens du faite que la méthode a été développée pour les équations de mouvement :
\begin{equation}\label{eq:ode}
M u'' + C u' + C u = P(t)
\end{equation}
qui est une équation différentielle du second degré dans laquelle $u(t)$, $u'(t)$ et $u''(t)$ sont,
respectivement, le déplacement, la vitesse et l'accélération.
On suppose que dans un intervalle de temps $\Delta t = t_{i+1}-t_i$, l'accélération $u''(t)$ est constante et égale à la moyenne entre les accélérations au début et à la fin du pas de temps.
\begin{equation} \label{eq:a:cste}
 A = (u''_{i+1}+u''_i)/2 \quad; \quad t \in [t_i, t_{i+1}]
\end{equation}
La vitesse $V=u'(t)$ et le déplacement $U=u(t)$ s'obtiennent avec intégration
\begin{aligned}
  V &= \int_{t_i}^t A \mathrm{d} t = At + V_i \\
  U &= \int_{t_i}^t V \mathrm{d} t = \tfrac{1}{2}At^2 + V_i t + U_i
\end{aligned}
Au temps $t_{i+1}= t_i + \Delta t$ on a :
\begin{align}
  V_{i+1} &= V_i + A \Delta t \label{eq:vi+1}\\
  U_{i+1} &= U_i +  \tfrac{1}{2} A {\Delta t}^2 + V_i \Delta t \label{eq:ui+1}
\end{align}
On note $\Delta U = U_{i+1} - U_i$ et $\Delta V = V_{i+1} - V_i$ les increments de déplacement et de vitesse, respectivement.
L'équation (\ref{eq:ui+1}) donne :
\begin{equation} \label{eq:a:delta_u}
  A = \frac{2}{\Delta t^2} \Delta U - \frac{2}{\Delta t} V_i
\end{equation}
En remplaçant dans l'équation (\ref{eq:vi+1}), on obtient l'expression de l'incrément de vitesse :
\begin{equation} \label{eq:delta_v}
  \Delta V = \frac{2}{\Delta t}\Delta U - 2 V_i
\end{equation}
On réécrit l'équation (\ref{eq:a:cste}) comme suit :
$$ 2 A = (A_{i+1} + A_i) + (A_i -A_i) = 2A_i + \Delta A $$
On remplace ensuite $A$ par son expression (\ref{eq:a:delta_u}) et on obteient l'incrément de l'accélération
\begin{equation} \label{eq:delta_a}
  \Delta A = \frac{4}{\Delta t^2}\Delta U - \frac{4}{\Delta t} V_i - 2A_i
\end{equation}
On supposant, maintenant que les coefficients de l'équation (\ref{eq:ode}) sont constants, on peut écrire :
Au temp $t_i$  : $$ M A_i +C V_i + K U_i = P_i$$
Au temp $t_{i+1}$  : $$ M A_{i+1} +C V_{i+1} + K U_{i+1} = P_{i+1}$$
La difference donne l'équation incrémentale :
$$M \Delta A + C \Delta V + K \Delta U = \Delta P $$
En remplaçant maintenant les increments $\Delta V$ et $\Delta A$ par leurs expressions respectives
(\ref{eq:delta_v}) et (\ref{eq:delta_a}), on obtient :
\begin{equation}\label{eq:kdu=dp}
   K^* \Delta U = P^*
\end{equation}
avec :
\begin{align*}
 K^* &= K + \frac{4}{\Delta t^2} M + \frac{2}{\Delta t} C \\
 P^* &=\Delta P + C^* V_i + 2 M A_i \\
 C^* &= 2C + \frac{4}{\Delta t} M
\end{align*}


Script MATLAB

function Ut = MAMC(M,C,K,P,dt)
%-----------------------------------------------
% Méthode d'accélération moyenne constante (AMC)
%-----------------------------------------------
K = K + 4*M/dt^2 + 2*C/dt ;
C = 2*C + 4*M/dt;
N = length(Acc);
U = 0*F;
V = U;
A = U;
Ut(:,1) = U;
for i = 1:N-1
dP = P(i+1)-P(i);
dP = dP + C * V + 2*M * A;
dU = K\dP;
dA = 4*dU/dt^2 - 4*V/dt - 2*A;
dV = 2*dU/dt - 2*V;
U = U + dU;
V = V + dV;
A = A + dA;
Ut(:,i+1) = U;
end
return